如图将边长为a的正方六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图一的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚到图

连A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如图,
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形,
∴A1A4=2a,∠A1A6A5=120°,
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C=
1
2
a,A1C=
3

2
a,
∴A1A5=A1A3=
3
a,
当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径分别是以A6,A5,A4,A3,A2为圆心,
以a,
3
a,2a,
3
a,a为半径,圆心角都为60°的五条弧,
∴顶点A1所经过的路径的长=
4+2
3

3
πa,
故答案为：
4+2
3

3
πa．