如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．

解题思路：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S_三角形ABD=2S_三角形ACD，设P（x，[1/4]x²-x+1），由题意可以解出x．

（1）顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）²（a≠0），
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，则a=[1/4]．
故二次函数的解析式为：y=[1/4]（x-2）²=[1/4]x²-x+1．
（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=[1/4]x²-x+1的图象上，
则有：2m-1=[1/4]m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=[1/4]x²-x+1的图象上．
（3）①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=[1/4]x²-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S_△ABD=2S_△ACD=2×[1/2]×4×4=16．
设P（x，[1/4]x²-x+1），
由题意有：S_△POE=[1/2]×4（[1/4x2-x+1）=
1
2]x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴[1/2]x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=[1/4]×36+6+1=16，
当x=10时，y=[1/4]×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．