已知函数f(x)=x+1x2+3

解题思路：（1）求导数，令其等于0判两侧的单调性得可得极值；
（2）由（1）可判区间[-3，2]的单调性，进而可得极值，可求最值，把恒成立问题转化为最值问题，函数在所研究区间上的函数差值的最大值即为最大值与最小值的差．

（1）函数f(x)=
x+1
x2+3，则f′（x）=
x2+3-(x+1)2x
(x2+3)2=-
x2+2x-3
(x2+3)2
令f′（x）=0解得x=-3，或x=1，且当x∈（-∞，-3）时，f′（x）＜0，故f（x）为减函数；
当x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，故f（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）为减函数．
故函数在x=-3处取到极小值f（-3）=-
1
6，在x=1处取到极大值f（1）=[1/2]
（2）由（1）可知函数f（x）在[-3，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，
故函数在[-3，2]上有唯一的极大值即是最大值为f（1）=[1/2]，
又f（-3）=-
1
6，f（2）=[3/7]，故最小值为-
1
6
f（x₁）-f（x₂）≤m成立，只需m≥[f（x₁）-f（x₂）]_max=[1/2-(-
1
6)=
2
3]
故实数m的最小值为[2/3]

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题为函数极值与最值的求解，正确运用极值与最值的定义是解决问题的关键，属中档题．