已知：如图，C为半圆上一点，AC＝CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．

解题思路：（1）要求证：AD=CD，可以连接AC，转化为证明∠CAD=∠ACD．
（2）已知tan∠ECB=[3/4]，就是已知∠DAP的正切值，根据△APC∽△CPB，可以根据相似三角形的对应边的比相等求得．

（1）证明：连接AC，
∵



AC＝



CE，
∴∠CEA=∠CAE．
∵∠CEA=∠CBA，
∴∠CBA=∠CAE．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠PCB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=∠ACP，
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD．（4分）
（2）∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD．
∴AD=CD=DF=[5/4]．（5分）
∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=[3/4]，
∴tan∠DAP=[DP/PA＝
3
4]．（6分）
∵DP²+PA²=DA²
∴DP=[3/4]，PA=1．
∴CP=2．（7分）
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△APC∽△CPB．（8分）
∴[AP/PC＝
PC
PB]．
∴PB=4．（9分）

点评：
本题考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相交弦定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题主要考查了三角函数的值是有角的大小确定的，以及相似三角形的对应边的比相等．