已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=e^x.(1)求f(
已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=e^x.(1)求f(
x),g(x).(2)判断f(x)在R上的单调性,并说明理由.
x),g(x).(2)判断f(x)在R上的单调性,并说明理由.
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解由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,
则f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）
故由f(x)-g(x)=e^x.(1)
用-x代替x得
f(-x)-g(-x)=e^（-x）
即-f(x)-g(x)=e^（-x）.(2)
由（1）和（2）联立解得
f（x）=（e^x-e^(-x)）/2
g（x）=-（e^x+e^(-x)）/2
2f（x）=（e^x-e^(-x)）/2是增函数
原因f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）
当x增大时,e^x增大,1/e^x减小,-1/e^x增大,e^x-1/e^x增大,1/2（e^x-1/e^x）增大,
故f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）是增函数.
则f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）
故由f(x)-g(x)=e^x.(1)
用-x代替x得
f(-x)-g(-x)=e^（-x）
即-f(x)-g(x)=e^（-x）.(2)
由（1）和（2）联立解得
f（x）=（e^x-e^(-x)）/2
g（x）=-（e^x+e^(-x)）/2
2f（x）=（e^x-e^(-x)）/2是增函数
原因f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）
当x增大时,e^x增大,1/e^x减小,-1/e^x增大,e^x-1/e^x增大,1/2（e^x-1/e^x）增大,
故f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）是增函数.
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