已知函数f（x）=[1−x/ax]+lnx（a≠0）

解题思路：（1）直接利用导数的运算法则即可求出f′（x），对a进行讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）根据（1）函数的单调性，对a进行讨论，转化为求函数的最小值，对函数的最小值进行求导，即可求得a的取值范围；
（3）根据（2）的结果，a=′1时，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分别令x＝

k

k+1

，x＝

k+1

k

，即可证得结果．

（1）因为函数 f(x)＝
1−x
ax+lnx，其定义域为（0，+∞）
所以f′（x）=[[1−x/ax]]′+（lnx）′=[a x−1
ax2
即 f′(x)＝
ax−1
ax2
当a＜0时，增区间为﹙0，+∞﹚；
当a＞0时，减区间为﹙0，
1/a]），增区间为（[1/a]，+∞）
（2）1°当a＜0时，函数增区间为﹙0，+∞﹚，此时不满足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
2°当a＞0时，函数减区间为﹙0，[1/a]），增区间为（[1/a]，+∞），
要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需f（[1/a]）≥0即可，
即1-[1/a]-lna≥0，
令g（a）=1-[1/a]-lna （a＞0）
则g′（a）=[1
a2-
1/a]=[1−a
a2=0，
解得a=1，因此g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以当a=1时，g（a）取最大值0，
故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
当且仅当a=1时成立，即a=1；
（3）由（2）知，令x＝
k+1/k]时，f(
k+1
k)＝−
1
k+1+ln(k+1)−lnk＞0（k∈N^*）
∴[1/k+1＜ln(k+1)−lnk（k∈N^*）
∴
1
n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n＜ln3
令x＝
k
k+1]，则f(
k
k+1)＝
1
k−ln(k+1)+lnk＞0（k∈N^*）
∴[1/k＞ln(k+1)−lnk（k∈N^*）
∴ln2＜
1
n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n]
综上ln2＜
1
n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n＜ln3成立．

点评：
本题考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属难题．