选修4-5：不等式选讲已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|（I）求f（t）＞2的解集；（II）若a＞0，g（x）=a

（I）由函数f（t）=|t+1|-|t-3|＞2可得
①

t＜−1
(−t−1)−(3−t)＞2，或②

−1≤t＜3
(t+1)−(3−t)＞2，或③

t≥3
(t+1)−(t−3)＞2．
解①得t∈∅，解②得 2＜t＜3，解③得 t≥3．
综上可得，不等式的解集为{t|t＞2}．
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，
故有g_min（x）≥f_max（t）．
由题意可得，当x=[1/a]时，g（x）取得最小值为g_min（x）=[5a−1/a]．
而由绝对值的意义可得f（t）的最大值等于4，
∴[5a−1/a≥4，解得 a≥1，
故a的取值范围为[1，+∞）．

点评：
本题考点： 绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．

1年前

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