数学分析题目怎样做

如何提高自身数学分析水平?
SCIbird 博士数学论坛
论坛上朋友们的请求,说说我自己的数分学习经历和心得,以供大家参考.
首先声明:世上没有万能的方法,任何一种方法都有其局限性和适用范围,所以对SCIbird
说的话要辩证的看,取其精华.类似的,如果你在某本书里看到类似"放之四海皆真理的话"
那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.
正如题目所写的,本文讲述的是"如何提高自身数学分析水平"也就是说,本文是针对已经学过数分,但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的.一点个人心得,希望能给需要帮助的人指引下方向.说是对数分的,但其实对其它数学科目也有参考意义.只是我对分析比较熟悉,故举的例子多是分析方面的.
首先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下:
研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等.
这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考.
1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证.
分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想.
但是,问题就结束了吗?我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点?前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点.至于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件.类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的猜想,接下来必须严格的给予证明.
2.可以从多角度思考问题.
我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗?或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗?
原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗?原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何?或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何?或者说原命题是否有推广的可能.
举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程)
所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式:
所谓一致有界,即存在正数M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|