（2011•雅安三模）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率e=22该椭圆C与直线l：y=2x在第一象限交于F
（2011•雅安三模）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率e=
该椭圆C与直线l：y=
x在第一象限交于F点，且直线l被椭圆C截得的弦长为2
，过F作倾斜角互补的两直线FM，FN分别与椭圆C交于M，N两点（F与M，N均不重合）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN的斜率为定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面积的最大值．
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（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN的斜率为定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面积的最大值．
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（Ⅰ）由题设知：e=
c
a＝
2
2，∴c＝
2
2a，
∵c2=a2-b2，∴[1/2a2＝a2−b2，
即a2=2b2，
设所求的椭圆C的方程为
x2
b2+
y2
2b2＝1．
由
y＝
2x
x2
b2+
y2
2b2＝1]，得x2＝
b2
2，∴x＝±
c
a＝
2
2，∴c＝
2
2a，
∵c2=a2-b2，∴[1/2a2＝a2−b2，
即a2=2b2，
设所求的椭圆C的方程为
x2
b2+
y2
2b2＝1．
由
y＝
2x
x2
b2+
y2
2b2＝1]，得x2＝
b2
2，∴x＝±
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