证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n

首先要知道结论:非退化的线性变换不改变二次型的正定性
故我们不妨设 A = diag( d1,d2,…,dn )
设 f(x1,x2,...,xn) = X^TAX = d1x1^2 + .+ dnxn^2.
必要性
因为A正定,所以对任意的X = (x1,x2,…,xn)^T ≠ O,有 f(x1,x2,...,xn) = X^TAX > 0,
取 X = ei = (0,…,0,1,0,…,0)^T,(i=1,2,…,n),则
ei^T A ei = di > 0 (i=1,2,…,n)
所以A的正惯性指数与秩都等于n.
充分性
如果 di > 0 ( i = 1,2,… ,n),则对任意的 X = (x1,x2,…,xn)^T ≠ O,至少有一个分量 xi ≠0,
故 f(x1,x2,...,xn) = d1x1^2 + .+ dnxn^2 > 0,即 f(x1,x2,...,xn) 是正定二次型,即有A是正定矩阵.

设 A = diag( d1,d2,…,dn )
设 f(x1, x2, ..., xn) = X^TAX = d1x1^2 + .... + dnxn^2.
因为A正定, 所以对任意的X = (x1, x2, …, xn)^T ≠ O, 有 f(x1, x2,..., xn) = X^TAX > 0,
取 X = ei = (0,…,0,1,0,…,0)^T, (i=...