如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax 2 +bx+c经过

（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答图所示，连接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC=
CE 2 - OE 2 =
5 2 - 3 2 =4．
∴C（0，-4）．

（2）∵点A（-2，0），B（8，0）在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8）．
∵点C（0，-4）在抛物线上，
∴-4=a×2×-8，解得a=
1
4 ．
∴抛物线的解析式为：y=
1
4 （x+2）（x-8）=
1
4 x ² -
3
2 x-4=
1
4 （x-3） ² -
25
4
∴顶点F的坐标为（3，-
25
4 ）．

（3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，
∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|y _M |=4．
（I）若y _M =4，则
1
4 x ² -
3
2 x-4=4，
整理得：x ² -6x-32=0，解得x=3+
41 或x=3-
41 ．
∴点M的坐标为（3+
41 ，4）或（3-
41 ，4）；
（II）若y _M =-4，则
1
4 x ² -
3
2 x-4=-4，
整理得：x ² -6x=0，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）．
∴点M的坐标为（6，-4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+
41 ，4），（3-
41 ，4）或（6，-4）．
②直线MF与⊙E相切．理由如下：
由题意可知，M（6，-4）．
如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，
则MG=3，EG=4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME=
MG 2 + EG 2 =
3 2 + 4 2 =5，
∴点M在⊙E上．
由（2）知，顶点F的坐标（3，-
25
4 ），∴EF=
25
4 ，
∴FG=EF-EG=
9
4 ．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF=
MG 2 + FG 2 =
3 2 + (
9
4 ) 2 =
15
4 ．
在△EFM中，∵EM ² +MF ² =5 ² +（
15
4 ） ² =（
25
4 ） ² =EF ² ，
∴△EFM为直角三角形，∠EMF=90°．
∵点M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直线MF与⊙E相切．

1年前