已知函数f（x）=lnx+ 1 x +ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．

解（1）a=0时，f′（x）=
x-1
x 2
当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，
∴f（x） _min =1
（2）f′（x）=
1
x -
1
x 2 +a=
a x 2 +x-1
x 2
当a≥0时，ax ² +x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令g（x）=ax ² +x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0
g(2)≤0
-
1
2a ≤2 ，解得：a≤ -
1
4
∴a的取值范围是（-∞， -
1
4 ]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x ₁ =b＞1，由（1）知，
∴ln
x n
b +
b
x n ≥1＞lnx _n +
1
x n+1 ，∴
b
x n ＞lnb+
1
x n+1 ，（n∈N ^* ），
∴故 1=
b
x 1 ＞lnb+
1
x 2 ＞ lnb+
1
b (lnb+
1
x 3 )…＞(1+
1
b +
1
b 2 +…)lnb =
1
1-
1
b lnb ，即
1
1-
1
b lnb ＜1，即lnb＜ 1-
1
b ，①
又由（1）当b＞1时， lnb+
1
b ＞1 ∴ lnb＞1-
1
b ＞1 ，与①矛盾，故b≤1，即x ₁ ≤1，
同理可证x ₂ ≤1，x ₃ ≤1，…，x _n ≤1（n∈N ^* ）