设f(x),g(x)为数域f上的不全为零多项式.证明[f(x),g(x)]=[f(x),f(x)+g(x)]

你这里的[f(x),g(x)]表示的是最大公因式吧?
一般还是习惯用(f(x),g(x))表示.
首先(f(x),g(x)) | f(x),(f(x),g(x)) | g(x),故(f(x),g(x)) | f(x)+g(x).
因此(f(x),g(x))是f(x)与f(x)+g(x)的公因式,于是(f(x),g(x)) | (f(x),f(x)+g(x)).
反过来,(f(x),f(x)+g(x)) | f(x),(f(x),f(x)+g(x)) | f(x)+g(x),故(f(x),f(x)+g(x)) | g(x).
因此(f(x),f(x)+g(x))是f(x)与g(x)的公因式,于是(f(x),f(x)+g(x)) | (f(x),g(x)).
综合两边得(f(x),g(x)) = (f(x),f(x)+g(x)).