已知函数f（x）= x 2 +ax+7+a x+1 ，a∈R．若对于任意的x∈N * ，f （x）≥4恒成立，

∵函数f （x）=
x 2 +ax+7+a
x+1 ，且f （x）≥4，对于任意的x∈N ^* 恒成立
即a≥ -
x 2 -4x+3
x+1 = -
(x+1) 2 -6(x+1)+8
x+1 = -[(x+1)+
8
x+1 ]+6
令g（x）= -[(x+1)+
8
x+1 ]+6 ，则g（x）≤6-4
2 ，当且仅当x=2
2 -1时g（x）取最大值
又∵x∈N ^* ，
∴当x=2时，g（x）取最大值
1
3
故a≥
1
3
即a的取值范围是[
1
3 ，+∞）
故答案为：[
1
3 ，+∞）