已知函数f（x）= 1 2 x 2 +( 3 4 a 2 + 1 2 a)lnx-2ax ，a∈R．

（Ⅰ）f（x）=
1
2 x ² -
1
16 lnx+x（x＞0），f′（x）=x-
1
16x +1=0，
∴x ₁ =
-2+
5
4 ，x ₂ =
-2-
5
4 （不在定义域内，舍）
∴（0，
-2+
5
4 ]单调减，[
-2+
5
4 ，+∞）单调增，
∴f（x）在x=
-2+
5
4 时取极小值，且是唯一极值．
（Ⅱ）f′（x）=
x 2 -2ax+
3
4 a 2 +
1
2 a
x （x＞0）
令g（x）=x ² -2ax+a ² +a，△=4a ² -3a ² -2a=a ² -2a，
设g（x）=0的两根x ₁ ，x ₂ （x ₁ ＜x ₂ ）
1 ⁰ 当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，
∴f（x）单调递增，满足题意；
2 ⁰ 当△＞0时即a＜0或a＞2时，
（1）若x ₁ ＜0＜x ₂ ，则 a ² +a＜0，
即-＜a＜0时，f（x）在（0，x ₂ ）上减，（x ₂ ，+∞）上增，
f′（x）=x+-2a，f''（x）=1-≥0，
∴f′（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意
（2）若x ₁ ＜x ₂ ＜0 则


3
4 a 2 +
1
2 a≥0
a＜0 ，
即a≤-时f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．
（3）若0＜x ₁ ＜x ₂ 则


3
4 a 2 +
1
2 a＞0
a＞0 ，
即a＞2时，∴f（x）在（0，x ₁ ）单调增，（x ₁ ，x ₂ ）单调减，（x ₂ ，+∞）单调增，
不合题意．综上得a≤-或0≤a≤2．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax ² +x，g′（x）=-
1
x -2ax+1=-
2a x 2 -x+1
x ．
令g′（x）=0，即2ax ² -x+1=0，
当0＜a＜时，△=1-8a＞0，
所以，方程2ax ² -x+1=0的两个不相等的正根x ₁ ，x ₂ ，设x ₁ ＜x ₂ ，
则当x∈（0，x ₁ ）∪（x ₂ ，+∞）时，g′（x）＜0，
当x∈（x ₁ ，x ₂ ）时，g′（x）＞0，
所以g（x）有极小值点x ₁ 和极大值点x ₂ ，且x ₁ +x ₂ =
1
2a ，x ₁ x ₂ =
1
2a ．
g（x ₁ ）+g（x ₂ ）=-lnx ₁ -ax+x ₁ -lnx ₂ -ax+x ₂
=-（lnx ₁ +lnx ₂ ）-（x ₁ -1）-（x ₂ -1）+（x ₁ +x ₂ ）
=-ln（x ₁ x ₂ ）+（x ₁ +x ₂ ）+1
=ln（2a）+…+1．
令h（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，h′（a）=-=＜0，h（a）在（0，）单调递减，
所以h（a）＞h（
1
8 ）=3-2ln2，
即g（x ₁ ）+g（x ₂ ）＞3-2ln2．