如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且AC•BC＝0，|BC|＝2|AC

解题思路：（1）设所求椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

b2

＝1(0＜b＜2)，由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|，由

AC

•

BC

＝0，AC⊥BC．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能够求出椭圆方程．
（2）设所求切线方程为y-1=k（x+1），由

y＝kx+k+1 x2 4 + 3y2 4 ＝1

，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2−4＝0，由判别式等于0，能判断AB与DE平行．

（1）A（2，0），
设所求椭圆的方程为：
x2
4+
y2
b2＝1(0＜b＜2)，…（2分）
由椭圆的对称性知，
|OC|=|OB|，
由

AC•

BC＝0，AC⊥BC．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐标为（1，1）．…（4分）
∵C点在椭圆上，
∴
12
4+
1
b2＝1，
∴b2＝
4
3．
所求的椭圆方程为
x2
4+
3y2
4＝1．…（8分）
（2）AB与DE是平行关系…（10分）
D（-1，1），
设所求切线方程为y-1=k（x+1），


y＝kx+k+1

x2
4+
3y2
4＝1，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2−4＝0…（12分）
上述方程中判别式△＝9k2−6k+1＝0，k＝
1
3
又kAB＝
1
3，
所以AB与DE平行…（14分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是综合性强，难度大，容易出错．