如图,已知椭圆C：x2/a2+y2 /b2=1 (a＞b＞0)的长轴AB长为4,离心率e=√3/2&

如图,已知椭圆C：
x2/a2+y2 /b2=1 (a＞b＞0)的长轴AB长为4,离心率e=√3/2 ,O为坐标原点,过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点．

若F1、F2是椭圆的左右焦点,G(0,√3).在椭圆上是否存在一点C,使CG-CF1最小,若存在求出最小值,若不存在,说明理由

守候黎明007 1年前已收到7个回答举报

鱼儿开心花朵

共回答了9个问题采纳率：88.9% 举报

应该是使｜CG－CF1｜最小.　　点C是存在的,C是GF1与椭圆的交点.
［证明］
依题意,有：2a＝4,∴a＝2,又e＝c/a＝√3/2,∴c＝√3,∴F1的坐标是（－√3,0）.
由a＝2、c＝√3,得：b＝√（a^2－c^2）＝√（4－3）＝1,∴椭圆的上顶点坐标是（0,1）.
∵点G的坐标是（0,√3）,∴G在椭圆上顶点的上方,自然在椭圆外.
显然有：｜CG－CF1｜≦GF1＝√［（0＋√3）^2＋（√3－0）^2］＝√6.
∴｜CG－CF1｜的最小值是√6.
注：｜CG－CF1｜≦GF1取等号时,需要G、C、F1共线,∴C是GF1与椭圆的交点.

1年前追问

守候黎明007 举报

｜CG－CF1｜≦GF1取等号时这不是最大值吗

举报鱼儿开心

抱歉得很！本人犯了个方向性的错误。　　现将答案更正如下：｜CG－CF1｜的最小值自然是0，于是就需要CG＝CF1， ∴C在GF1的中垂线上。由G（0，√3）、F1（－√3，0），得：GF1的斜率＝（√3－0）/（0＋√3）＝1。 ∴GF1的中垂线的斜率＝－1。由中点坐标公式，容易得：GF1的中点M的坐标是（√3/2，√3/2）。 ∴CM的方程是：y－√3/2＝－（x－√3/2），∴y＝－x＋√3。联立：y＝－x＋√3、x^2/4＋y^2＝1，消去y，得：x^2/4＋（x－√3）^2＝1， ∴x^2＋4x^2－8√3x＋12＝4，∴5x^2－8√3x＋8＝0。判别式＝64×3－4×5×8＝32×（6－5）＞0。∴GF1的中垂线与椭圆有两个交点。 ∴使｜CG－CF1｜＝0的点C是存在的。 ∴｜CG－CF1｜的最小值是0。

守候黎明007 举报

可是如果没有绝对值呢，那就可能是负的呀

举报鱼儿开心

如果没有绝对值，实际上就是求（CG－CF1）的最大值。求出后加个负号就可以了。 ∵｜CG－CF1｜≦GF1＝√6，∴（CG－CF1）的最小值是－√6。［也许这就是出题者的意图，这样的话，原题就不存在缺陷了！］

守候黎明007 举报

但其实椭圆上没有可以符合CG-CF1=-√6的点不过就选你吧。