在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1上一点，且DE=[1/3]DD1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F

解题思路：分别在CC₁、C₁D₁上取点N、M，使得CN＝

1

3

CC1，D1M＝

1

3

D1C1，连接B₁N、B₁M，可证明平面MNB₁∥平面A₁BE，由B₁F∥平面A₁BE知点F在线段MN上，易证∠B₁FC₁为B₁F与平面CDD₁C₁所成角，tan∠B₁FC₁═

B1C1

C1F

，设出棱长，可求得C₁F的最大值、最小值，从而可得答案．

如图：分别在CC₁、C₁D₁上取点N、M，使得CN＝
1
3CC1，D1M＝
1
3D1C1，连接B₁N、B₁M，则MN∥CD₁，
∵BC∥AD，BC=AD，AD∥A₁D₁，AD=A₁D₁，∴BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四边形BCD₁A₁为平行四边形，则CD₁∥BA₁，
∴MN∥BA₁，
∵CN＝
1
3CC1，DE=[1/3]DD₁，∴NE∥C₁D₁，NE=C₁D₁，
又C₁D₁∥A₁B₁，C₁D₁=A₁B₁，
∴NE∥A₁B₁，NE=A₁B₁，
∴四边形NEA₁B₁为平行四边形，则B₁N∥A₁E，
且MN∩B₁N=N，
∴平面MNB₁∥平面A₁BE，
∵B₁F∥平面A₁BE，点F必在线段MN上，
连接C₁F，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴∠B₁FC₁即为B₁F与平面CDD₁C₁所成角，
设正方体棱长为3，则C₁N=C₁M=2，当F为MN中点时，C₁F最短为
2，
当F与M或N重合时，C₁F最长为2，
tan∠B₁FC₁=
B1C1
C1F＝
3
C1F∈[[3/2]，
3
2
2]，即所求正切值的取值范围是[[3/2]，
3
2
2]．
故答案为：[[3/2]，

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面所成的角、面面平行的判定及性质，考查学生分析问题解决问题的能力及空间想象能力．