如图，已知直平行六面体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC 1 的中点，A

（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，AA ₁ ⊥面ABCD
又∵AD⊥BD，∴A ₁ D⊥BD．…（2分）
又A ₁ D⊥BE，∴A ₁ D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）连B ₁ C．∵A ₁ B ₁ ∥ CD，∴B ₁ C ∥ A ₁ D．∵A ₁ D⊥BE，∴B ₁ C⊥BE，
∴∠BB ₁ C=∠CBE，∴Rt△BB ₁ C ∽ Rt△CBE，
∴
BC
B B 1 =
CE
BC ．∵ CE=
1
2 B B 1 ，BC=AD=a ，∴
1
2 B
B 21 =B C 2 = a 2 ，∴ B B 1 =
2 a ．…（5分）
取CD中点M，连BM．∵ CD=
2 a ，∴ BM=

2
2 a ．
过M作MN⊥DE于N，连BN．∵平面CD ₁ ⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD ₁ ，
∴BN⊥DE，∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵ sin∠MDN=
MN
DM =
CE
DE ，DE=
C E 2 +C D 2 =
(

2
2 a) 2 + (
2 a) 2 =

5
2 a ，
∴ MN=
a

10 ．在Rt△BMN中， tan∠BNM=
BM
MN =
5 ，∴ ∠BNM=arctan
5 ．
即二面角B-DE-C等于 arctan
5 ．…（9分）
（Ⅲ）∵A ₁ D⊥平面BDE，BN⊂平面BDE，∴A ₁ D⊥BN．…（10分）
又∵BN⊥DE，∴BN⊥平面A ₁ DE，即BN的长就是点B到平面A ₁ DE的距离．…（11分）
∵ BM=

2
2 a，MN=
a

10 ，∴ BN=
B M 2 +M N 2 =

15
5 a ，
即点B到平面A ₁ DE的距离为

15
5 a ．…（12分）