如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于
| 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB； （3）求二面角A-BC-P的大小． |
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（1）证明：△ABD为等边三角形且G为AD的中点，
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD。
（2）证明：△PAD是等边三角形且G为AD的中点，
∴AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，
又
平面PBG，
∴AD⊥PB。
（3）由AD⊥PB，AD∥BC，
∴BC⊥PB，
又BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角，
在Rt△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°。
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD。
（2）证明：△PAD是等边三角形且G为AD的中点，
∴AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，
又
平面PBG，∴AD⊥PB。
（3）由AD⊥PB，AD∥BC，
∴BC⊥PB，
又BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角，
在Rt△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°。
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