设f∈C[-l，l]，f（x）在x=0处可导，且f′（0）≠0，

（1）记F(x)＝
∫ x 0f(t)dt+
∫ −x 0f(t)dt，x∈[0，1]，则F（x）在区间[0，1]上连续、可导，且F′（x）=f（x）-f（-x）．
：∀x∈（0，l），对F（x）在区间[0，x]上利用Lagrange中值定理即得，
∃θ∈（0，1），使得F（x）-F（0）=F′（θx）x，
即：
∫ x 0f(t)dt+
∫ −x 0f(t)dt=x[f（θx）-f（-θx）]．
（2）由（1）可得：

∫ x 0f(t)dt+
∫ −x 0f(t)dt
x2＝ θ(
f(θ x)−f(0)
θx+
f(−θ x)−f(0)
−θx)，
又因为
lim
x→0(
f(θx)−f(0)
θx+
f(−θx)−f(0)
−θx)

u＝θx
.

lim
u→0(
f(u)−f(0)
u+
f(−u)−f(0)
−u)=2f′（0），
因此，2f′(0)
lim
x→0+θ＝
lim
x→0+

∫ x 0f(t)dt+
∫ −x 0f(t)dt
x2＝
lim
x→0+
f(x)−f(−x)
2x=[1/2
lim
x→0+(
f(x)−f(0)
x+
f(−x)−f(0)
−x)＝f′(0)．
由于f′（0）≠0，所以
lim
x→0+θ＝
1
2]．

点评：
本题考点： 拉格朗日中值定理．

考点点评： 本题考查了拉格朗日中值定理、积分上限函数的求导、导数的定义以及函数极限的计算，综合性较强，难度系数较大，需要熟练掌握相关知识点并具有灵活的综合运用能力．