如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2A
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．
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解题思路：（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明
•
=0，
•
=0，即可证明DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-PD-E的余弦值．
| DE |
| PB |
| DE |
| PC |
（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-PD-E的余弦值．
（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，
以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴
DE=（0，1，1），
PB=（0，2，-2），
PC=（2，2，-2），
∴
DE•
PB=0，
DE•
PC=0，
∴DE⊥PB，DE⊥PC，
∵PB∩PC=P，
∴DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量
m=（0，2，0）．
设平面PCD的一个法向量为
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
1年前
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