已知函数f 1 （x）= 1 2 x 2 ，f 2 （x）=alnx（其中a＞0）．

解析（Ⅰ）f（x）=f ₁ （x）•f ₂ （x）=
1
2 x ² alnx，
∴f′（x）=axlnx+
1
2 ax=
1
2 ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞ e
1
2 ，由f′（x）＜0，得0＜x＜ e
1
2 ．
∴函数f（x）在（0， e
1
2 ）上是减函数，在（ e
1
2 ，+∞）上是增函数，
∴f（x）的极小值为f（ e
1
2 ）=-
a
4e ，无极大值．
（Ⅱ）函数g（x）=
1
2 x 2 -alnx+(a-1)x ，
则g′（x）=x-
a
x +（a-1）=
x 2 +(a-1)x-a
x =
(x+a)(x-1)
x ，
令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
函数g（x）在区间（
1
e ，e）内有两个零点，
只需

g(
1
e )＞0
g(1)＜0
g(e)＞0 ，即


1
2 e 2 +
a-1
e +a＞0

1
2 +a-1＜0

e 2
2 +(a-1)e-a＞0 ，∴

a＞
2e-1
2 e 2 +2e
a＜
1
2
a＞
2e- e 2
2e-2 ，解得
2e-1
2 e 2 +2e ＜x＜
1
2 ，
故实数a的取值范围是（
2e-1
2 e 2 +2e ，
1
2 ）．
（Ⅲ）问题等价于x ² lnx＞
x 2
e x -
3
4 ，
由（I）知，f（x）=x ² lnx的最小值为-
1
2e ，
设h（x）=
x 2
e x -
3
4 ，h′（x）=-
x(x-2)
e x 得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，
∴h（x） _max =h（2）=
4
e 2 -
3
4 ，
因-
1
2e -（
4
e 2 -
3
4 ）=
3 e 2 -2e-16
4 e 2 =
(3e-8)(e+2)
4 e 2 ＞0，
∴f（x） _min ＞h（x） _max ，
∴x ² lnx＞
x 2
e x -
3
4 ，∴lnx-（
1
e x -
3
4 x 2 ）＞0，
∴lnx+
3
4 x 2 -
1
e x ＞0．