(2010•通化）如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出
(2010•通化）
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动．设BQ=x,QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动．设BQ=x,QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．
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（1）在Rt△ABC中,
∵∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴BC=AB2+AC2=10．
∵∠DHB=∠A=90°,∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC,
∴DHAC=BDBC,
∴DH=BDBC•AC=310×8=125（3分）
（2）∵QR∥AB,
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C,
∴△RQC∽△ABC,
∴RQAB=QCBC,∴y6=10-x10,
即y关于x的函数关系式为：y=-35x+6．（6分）
（3）存在,分三种情况：
①当PQ=PR时,过点P作PM⊥QR于M,则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=810=45,
∴QMQP=45,
∴12(-35x+6)125=45,
∴x=185．
②当PQ=RQ时,-35x+6=125,
∴x=6．
③作EM⊥BC,RN⊥EM,
∴EM∥PQ,
当PR=QR时,则R为PQ中垂线上的点,
∴EN=MN,
∴ER=RC,
∴点R为EC的中点,
∴CR=12CE=14AC=2．
∵tanC=QRCR=BACA,
∴-35x+62=68,
∴x=152．
综上所述,当x为185或6或152时,△PQR为等腰三角形．
∵∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴BC=AB2+AC2=10．
∵∠DHB=∠A=90°,∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC,
∴DHAC=BDBC,
∴DH=BDBC•AC=310×8=125（3分）
（2）∵QR∥AB,
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C,
∴△RQC∽△ABC,
∴RQAB=QCBC,∴y6=10-x10,
即y关于x的函数关系式为：y=-35x+6．（6分）
（3）存在,分三种情况：
①当PQ=PR时,过点P作PM⊥QR于M,则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=810=45,
∴QMQP=45,
∴12(-35x+6)125=45,
∴x=185．
②当PQ=RQ时,-35x+6=125,
∴x=6．
③作EM⊥BC,RN⊥EM,
∴EM∥PQ,
当PR=QR时,则R为PQ中垂线上的点,
∴EN=MN,
∴ER=RC,
∴点R为EC的中点,
∴CR=12CE=14AC=2．
∵tanC=QRCR=BACA,
∴-35x+62=68,
∴x=152．
综上所述,当x为185或6或152时,△PQR为等腰三角形．
1年前
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