设x、y∈R,ij为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,若向量a＝xi＋（y＋2）jb＝xi＋（y－2）j且｜a｜
设x、y∈R,ij为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,若向量a＝xi＋（y＋2）jb＝xi＋（y－2）j且｜a｜＋｜b｜＝8．
（Ⅰ）求点M（xy）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（0,3）作直线l与曲线C交于A、B两点,设OP＝OA＋OB．是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程；若不存在,试说明理由
（Ⅰ）求点M（xy）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（0,3）作直线l与曲线C交于A、B两点,设OP＝OA＋OB．是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程；若不存在,试说明理由
赞 砖头一箩筐 幼苗
共回答了21个问题采纳率：95.2% 举报
（Ⅰ）∵｜a｜=√x2+(y+2)2 ｜b｜=√x2+(y-2)2
∴ 由定义,｜a｜表示点（x,y）到点（0,-2）的距离,｜b｜表示点（x,y）到点（0,2）的距离.由椭圆定义可知,到两定点的距离和为定值的点M（x,y）的轨迹为椭圆.
又由题意得,半焦距c=2,长半轴a=4,可知短半轴平方b2=12,且椭圆焦点在y轴上
∴M(x,y)的轨迹方程为y2/16+x2/12=1,即C为椭圆
（Ⅱ）由题意,假设四边形OAPB是矩形,则∠AOB为直角.
令直线方程y-3=kx与椭圆C方程连列,令两交点A（x1,y1) ,B(x2,y2)
连列后得一元二次方程（3k2+4）x2+18kx-21=0
因为∠AOB为直角,x1x2+y1y2=0
根据韦达定理,最后整理出式子（15-48k2）/(3k2+4)=0,计算出k=(√5)/4 或者（-√5）/4
两解都满足△>0,所以存在直线y-3=(√5)/4x 或者y-3=（-√5）/4x
∴ 由定义,｜a｜表示点（x,y）到点（0,-2）的距离,｜b｜表示点（x,y）到点（0,2）的距离.由椭圆定义可知,到两定点的距离和为定值的点M（x,y）的轨迹为椭圆.
又由题意得,半焦距c=2,长半轴a=4,可知短半轴平方b2=12,且椭圆焦点在y轴上
∴M(x,y)的轨迹方程为y2/16+x2/12=1,即C为椭圆
（Ⅱ）由题意,假设四边形OAPB是矩形,则∠AOB为直角.
令直线方程y-3=kx与椭圆C方程连列,令两交点A（x1,y1) ,B(x2,y2)
连列后得一元二次方程（3k2+4）x2+18kx-21=0
因为∠AOB为直角,x1x2+y1y2=0
根据韦达定理,最后整理出式子（15-48k2）/(3k2+4)=0,计算出k=(√5)/4 或者（-√5）/4
两解都满足△>0,所以存在直线y-3=(√5)/4x 或者y-3=（-√5）/4x
1年前
1
可能相似的问题
-
1年前2个回答
-
设i,j分别是平面直角坐标系内x轴,y轴的正方向上的单位向量,
1年前2个回答
你能帮帮他们吗