（2008•静安区一模）已知各项为正数的等比数列{an}（n∈N*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若n1+n22＝

（2008•静安区一模）已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若

n1+n2

＝p，则(an1•an2)

＝ap（其中n₁、n₂、p为正整数）．
（1）若

n1+n2

＝p+

，试探究(an1•an2)

与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．

u的ee 1年前已收到1个回答举报

kdltct 种子

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解题思路：（1）根据若

n1+n2

＝p+

可知n₁+n₂=2p+1，再根据a_n的通项公式代入(an1•an2)

中，进而可得(an1•an2)

＝apq

，答案可得．
（2）若an1，an2，，anm是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，
假设

n1+n2++nm

＝p+

(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)时，再由（1）中结论可推断可得一真命题；
假设

n1+n2++nm

＝p+

(m、p∈N*，s、t互素）时，同样可得一真命题．

（1）因为
n1+n2
2＝p+
1
2，所以n₁+n₂=2p+1，又a_n=a₁q^n-1(an1•an2)
1
2＝(
a21•qn1+n2−2)
1
2＝(
a21•q(2p−2)+1)
1
2＝(
a 1•qp−1)q
1
2＝apq
1
2
即(an1•an2)
1
2＝apq
1
2
（2）若an1，an2，，anm是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，则存在以下真命题：
①若
n1+n2++nm
m＝p+
r
m(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)，则有(an1•an2••an3)
1
m＝apq
r
m成立．
②若
n1+n2++nm
m＝p+
t
s(m、p∈N*，

点评：
本题考点：等比数列的性质；数列的应用．

考点点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查学生根据已知结论分析问题和解决问题的能力．

1年前

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