如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．

（1）∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵

AB＝AE
∠EAO＝∠NAB
DA＝AO，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH=[1/2]AB，
∵BO=[1/2]AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，


AH＝BO
AE＝AB，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，


∠EHF＝∠DAF
∠EFH＝∠DFA
EH＝AD，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

考点点评： 本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．