设A∈Hom(V,U)是线性映射,α1,...,αk∈V.证明：
设A∈Hom(V,U)是线性映射,α1,...,αk∈V.证明：
若U中A(α1),...,A(αk)线性无关,则在V中α1,...,αk线性无关
若U中A(α1),...,A(αk)线性无关,则在V中α1,...,αk线性无关
赞 zhoujian88 春芽
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若在V中α1,...αk线性相关,即存在a1,...,ak,使得
a1·α1+a2·α2+.+ak·αk=0,因为A是线性映射
所以A(a1·α1+a2·α2+.+ak·αk)=0
=>a1·A(α1)+a2·A(α2)+...+ak·A(αk)=0
这与在U中A(α1),...,A(αk)线性无关矛盾
∴在V中α1,...,αk线性无关
a1·α1+a2·α2+.+ak·αk=0,因为A是线性映射
所以A(a1·α1+a2·α2+.+ak·αk)=0
=>a1·A(α1)+a2·A(α2)+...+ak·A(αk)=0
这与在U中A(α1),...,A(αk)线性无关矛盾
∴在V中α1,...,αk线性无关
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