如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，

（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意以A为坐标原点，AD，AB，AP为x，y，z正半轴，
建立空间直角坐标系，
则有：A（0，0，0）、 D(
2 ，0，0) 、B（0，2，0）、
C(
2 ，1，0) 、P（0，0，4）、 M(

2
2 ，0，2) 、N（0，1，2）．
设Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在实数λ，μ，使得

CQ =λ

CM +μ

CN ，
即 (-
2 ，-1，a)=λ(-

2
2 ，-1，2)+μ(-
2 ，0，2) ．
由

-
2 =-

2
2 λ-
2 μ
-1=-λ ，得：

λ=1
μ=
1
2 ．
于是a=2λ+2μ=3， |

PQ |=1 ．
∴PQ的长度是1．…（5分）
（Ⅱ）设平面MCN的法向量

n 1 =(x，y，1) ，
由



n 1 •

CM =(x，y，1)•(-

2
2 ，-1，2)=-

2
2 x-y+2=0


n 1 •

CN =(x，y，1)•(-
2 ，0，2)=-
2 x+2=0 ，
取x=
2 ，得

n 1 =(
2 ，1，1) ．
由题意

n 2 =(0，0，1) 为平面ABCD的法向量．
于是， cos＜

n 1 ，

n 2 ＞=


n 1 •

n 2
|

n 1 |•|

n 2 | =
1
2 ．
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值为

3
2 ．…（10分）
（Ⅲ）设点A到平面MCN的距离为d，
∵

AN =(0，1，2) ，平面MCN的法向量

n 1 =（
2 ，1，1），
∴ d=
|

AN •

n 1 |
|

n 1 | =
3
2 ．
∴点A到平面MCN的距离为
3
2 ．…（14分）