如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′
如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′
交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．
（1）当α=30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=[1/4S△ABC
交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．（1）当α=30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=[1/4S△ABC
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解题思路：（1）根据等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；
（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=
，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；
（3）当S=
S△ABC时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．
（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=
| 3 |
（3）当S=
| 1 |
| 4 |
（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；
（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=
3]BC=
3，AB=2BC=2．
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴[AD/BE]=[AC/BC]，
∴BE=
3
3x．
∵BD=2-x，
∴s=[1/2]×
3
3x（2-x）=-
3
6x2+
3
3x．（0＜x＜2）
（3）∵s=[1/4]s△ABC
∴-
3
6x2+
3
3x=
3
8，
∴4x2-8x+3=0，
∴x1＝
1
2，x2＝
3
2．
①当x=[1/2]时，BD=2-[1/2]=[3/2]，BE=
3
3×[1/2]=
3
6．
∴DE=
BD2+BE2=
1
3
21．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=[1/2]DE=[1/6]
21＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则DF＝
1
2x＝
1
4，AF＝
3DF＝
3
4．
∴CF＝
3−
3
4＝
3
4
3．
∴tanα＝
DF
CF＝
3
9． （12分）
②当x＝
3
2时，BD＝2−
3
2＝
1
2，BE＝
3
2．
∴DE＝
BD2+BE2＝1，
∴EC＝
1
2DE＝
1
2＜BE，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出tanα＝
3
4
1
4
3＝
3．
点评：
本题考点： 锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．
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