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幼苗
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解题思路:(Ⅰ)由导数与函数单调性的关系知,可先求出函数的导函数,然后令导函数大于0或小于0,解此不等式,所得的解集即为函数的单调区间;
(Ⅱ)求出g′(x),得到函数g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,从而得到函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,进而得证;
(Ⅲ)由柯西不等式,得到
(+++…+)≥() ,
再由(Ⅱ)可知,
(1+n)2013 <(1+2013)n ,进而得到
()>(),即得证.
(Ⅰ)由f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1)有f′(x)=-ln(x+1),…(1分)
当-1<x<0,即f′(x)>0时,f(x)单调递增;
当x>0,即f′(x)<0时,f(x)单调递减;
所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞).…(3分)
(Ⅱ)设g(x)=
ln(1+x)
x(x>0),则g′(x)=
x−(1+x)ln(1+x)
x2(1+x),…(5分)
由(Ⅰ)知f(x)=x-(x+1)ln(x+1)在(0,+∞)上是减函数,且f(0)=0,
∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,从而得到函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,
又当n>m>0时,∴g(n)<g(m),得
ln(1+n)
n<
ln(1+m)
m,
∴mln(n+1)<nln(m+1),即:(1+n)m<(1+m)n.…(8分)
(Ⅲ)由x1+x2+x3+…+xn=1,及柯西不等式:
(
x21
1+x1+
x22
1+x2+
x23
1+x3+…+
x2n
1+xn) (1+n)
≥(
x21
1+x1 •
1+x1+
x
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明.
考点点评: 本题考查用导数求函数的单调区间,其解题步骤为:求导,令导数小于0,解不等式,得到函数的单调递减区间.以及利用柯西不等式证明不等式的问题,属于较难的题目.
1年前
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