已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－ .

（1）即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
（2）k≥1
（3）见解析

(1)解　由已知得f′(x)＝ －a，∴f′(2)＝ －a＝－ ，解得a＝1.
于是f′(x)＝ －1＝ ，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)解　由(1)知x ₁ ∈(0，＋∞)，f(x ₁ )≤f(1)＝0，即f(x ₁ )的最大值为0，
由题意知：对∀x ₁ ∈(0，＋∞)，∃x ₂ ∈(－∞，0)使得f(x ₁ )≤g(x ₂ )成立，
只需f(x) _max ≤g(x) _max .
∵g(x)＝ ＝x＋ ＋2k＝－ ＋2k≤－2 ＋2k，
∴只需－2 ＋2k≥0，解得k≥1.
(3)证明　要证明 ＋ ＋…＋ < (n∈N ^* ，n≥2)．
只需证 ＋ ＋…＋ < ，
只需证 ＋ ＋…＋ < .
由(1)当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时，ln n ² 2 －1，
< ＝1－ <1－ ＝1－ ＋ ，
＋ ＋…＋ < ＋ ＋…＋ ＝n－1－ ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＋…＋ < .