已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
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解题思路：（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．
（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知
f（x）=ax∈M．
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．
（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知
f（x）=ax∈M．
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．
（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x∉M；（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：y＝axy＝x有解，消去y得ax...
点评：
本题考点： 集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题．
考点点评： 考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．
1年前
6
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