椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|A

解题思路：（1）根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用椭圆定义可得|AB|=

4

3

a．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韦达定理可得

4a

3

＝

4b2

a2+b2

•a，从而可证b=c．
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，根据|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，可得k_PM=-1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．

（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，，
所以，|AB|=[4/3a．（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）（2分）
∴y1+y2＝
2b2c
a2+b2]，y1y2＝
−b4
a2+b2
∴|AB|²=(x1−x2)2+(y1−y2)2=2(y1−y2)2=2[(y1+y2)2−4 y1y2]
=2[(
2b2c
a2+b2)2+
4b4
a2+b2]=[2
(a2+b2)24b4[c2+a2+b2]=
8b4
(a2+b2)2•2a2
于是有
4a/3＝
4b2
a2+b2•a，（4分）
化简，得a=
2b，故b=c． （1分）
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0（1分）
设AB中点为M（x₀，y₀），则y0＝
1
2(y1+y2)＝
b
3]，
又M∈l，于是x0＝y0−c＝−
2b
3． （2分）
由|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，∴k_PM=-1，
由P（0，-1），得−1＝

b
3+1
−
2b
3，解得b=3，
∴a²=b²+c²=18，（2分）
故椭圆C的方程为
x2
18+
y2
9＝1．（1分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；等差数列的性质；椭圆的定义．

考点点评： 本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用点p（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求得斜率为-1．