设p是实数，二次函数y=x 2 -2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）．
| 设p是实数，二次函数y=x 2 -2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）． （1）求证：2px 1 +x 2 2 +3p＞0； （2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值． |
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（1）∵二次函数y=x 2 -2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）．
∴△=4p 2 +4p＞0，x 2 2 -2px 2 -p=0，
∴2px 1 +x 2 2 +3p，
=2px 1 +2px 2 +p+3p，
=2p（x 1 +x 2 ）+4p，
=4p 2 +4p＞0；
（2）AB=|x 1 -x 2 |，
=
(x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ，
=
4 p 2 +4p ＜|2p-3|，
解之得p≤
9
16 ，
又当p=
9
16 时满足题意，
故p的最大值是
9
16 ．
∴△=4p 2 +4p＞0，x 2 2 -2px 2 -p=0，
∴2px 1 +x 2 2 +3p，
=2px 1 +2px 2 +p+3p，
=2p（x 1 +x 2 ）+4p，
=4p 2 +4p＞0；
（2）AB=|x 1 -x 2 |，
=
(x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ，
=
4 p 2 +4p ＜|2p-3|，
解之得p≤
9
16 ，
又当p=
9
16 时满足题意，
故p的最大值是
9
16 ．
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