如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．

解题思路：（Ⅰ）由线面垂直，得PA⊥CM，由正三角形性质，得CM⊥AB，由此能证明CM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．

（本题15分）
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，
所以PA⊥CM．┅（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图．


AP＝(0，0，3)，

AC=（2
3，2，0）．
设

n=（x，y，z）是平面APC的法向量，
则



n•

AP＝3z＝0


n•

AC＝2
3x+2y＝0，取x=1，得

n=（1，-
3，0）．┅（10分）


BP＝(0，−4，3)，

BC＝(2
3，−2，0)．
设

m＝(a，b，c)是平面BPC的法向量，
则



m•

BP＝−4b+3c＝0


m•

BC＝2
3a−2b＝0，取a=
3，得

m＝(
3，3，4)．┅（13分）
故cosθ=|cos＜

m，

n＞|=
2
3
2×2
7=

21
14．┅（15分）

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．