如图,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是边BC、CD上的两个动点,当点M在BC边上运动（不与B 、C 重合）时,

①∵AM⊥MN,∴∠AMB+∠CMN=90°
在△AMB中,∠AMB+∠MAB=90°
∴∠MAB=∠NMC,又∠ABM=∠MCN=90°
∴△ABM∽△MCN
②△ABM∽△MCN
∴BM/CN=AB/MC
BC=AB=4,BM=x,MC=BC-BM=4-x
∴x/CN=4/(4-x)
∴CN=x(4-x)/4
∴梯形ABCN面积
y=(AB+CN)×BC/2
=[4+x(4-x)/4]×2
=-0.5x²+2x+8
=-0.5(x-2)²+10
∴y与x之间的函数关系式为y=-(1/2)x²+2x+8
当x=2,即M点运动到BC中点时,梯形ABCN面积最大为10
③
当Rt△ABM∽Rt△AMN时,
有AB/AM=BM/MN
得AB²/AM²=BM²/MN²
即16/(16+BM²)=BM²/[(4-BM)²+CN²]
∴BM²(16+BM²)=16[(4-BM)²+CN²]
BM=x,CN=x(4-x)/4
∴x²(16+x²)=16[(4-x)²+x²(4-x)²/16]
x²(16+x²)=(4-x)²(16+x²)
解得x=2
即M点运动到BC中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN
此时x=2