如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，现有两个动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以每秒2个单位的速度沿A⇒B

解题思路：（1）三角形DFQ中，底边DQ的长可用CD、CQ得出，QD边上的高即EF的长，可在直角三角形DEF中，根据DE的长（即AP的长）和∠CDB的正弦值求出．进而可根据三角形的面积计算公式求出S，t的函数关系式．由于P、Q两点中当一点到达终点时，另一点停止运动，因此可根据P点的速度和AB的长来求出t的取值范围．
（2）由于∠CDB=∠ADF，因此本题分两种情况：①∠AFD=∠BCD，即△ADF∽△ABC，可根据对应线段成比例求出AP的长，即可得出EF，QE的长，据此可求出∠QFE的正切值．②∠DAF=∠DCB，即△DAF∽△BCD，解法同①
（3）分三种情况：
①FQ=FD，根据等腰三角形三线合一的特点可知此时QE=ED，可据此求出t的值．
②DQ=DF，DQ的长可用CD-CQ表示出，DF的长，可在直角三角形DEF中，用DE和∠CDB的余弦值求出．然后联立这两个含t的表达式相等即可得出t的值．
③QF=QD，可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值．

（1）∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
又∵PE⊥CD，
∴△EDF和△BPF都为等腰直角三角形
∴EF=DE=AP=2t，DF=2
2t
又∵DQ=8-t
∴s=[1/2]DQ•EF=[1/2]（8-t）•2t=-t²+8t
自变量t的取值范围是0≤t≤4．

（2）当△ADF与△BDC相似时，
∵∠ADF=∠BDC=45°，
∴[DF/CD＝
DA
DB]或[DF/DB＝
DA
CD]
由[DF/CD＝
DA
DB]，
得
2
2t
8＝
8
8
2，t=2
这时EF=4，QE=8-3t=2
∴tan∠QFE=[QE/EF]=[1/2]
由[DF/DB＝
AD
CD]，
得
2
2t
8
2=[8/8]，t=4．
这时，点F与B重合，点E与C重合
∴tan∠QFE=tan∠QBC=[QC/CB＝
4
8＝
1
2]．

（3）①当FQ=FD时，QE=ED，即8-3t=2t，5t=8，t=1.6；
②当DQ=DF时，即8-t=2
2t，t=
8
2
2+1=
−8+16
2
7；
③当QF=QD时，QE²+EF²=QD²，即（8-3t）²+（2t）²=（8-t）²，t=[8/3]．
综上所述，存在t的值，分别为t=1.6或t=
−8+16
2
7或[8/3]时，△DFQ为等腰三角形．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 该题综合性较强，它将二次函数和正方形、解直角三角形、相似三角形的判定、等腰三角形的构成情况等贯穿在一起，考查综合分析问题能力，要注意（2）（3）两小题都要分类讨论，不要漏解．