在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by
在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（-1，0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（-1，0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
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解题思路：（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．
（2）联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 （1-4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1-4k2≤0，从而求得k的范围．
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y-2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一条分隔线．
（2）联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 （1-4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1-4k2≤0，从而求得k的范围．
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y-2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一条分隔线．
（1）证明：把点（1，2）、（-1，0）分别代入x+y-1 可得（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴点（1，2）、（-1，0）被直线 x+y-1=0分隔．
（2）联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 （1-4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k2≤0，
∴k≤-[1/2]，或 k≥[1/2]．
（3）证明：设点M（x，y），则
x2+(y−2)2•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y-2）2]x2=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P1（1，2）、P2（-1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（-1）=-1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y-2）2]x2=1，可得[x2+（kx-2）2]x2=1，
令f（x）=[x2+（kx-2）2]x2-1，
∵f（0）f（2）＜0，
∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
点评：
本题考点： 直线的一般式方程；真题集萃．
考点点评： 本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．
1年前
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