已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)是偶函数,并且在(-∞,0)上是增函数,若f(2)=0,则f(x)x

已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)是偶函数,并且在(-∞,0)上是增函数,若f(2)=0,则
f(x)
x
>0
的解集是(  )
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(2,+∞)
zhaokaipka 1年前 已收到1个回答 举报

668qaz 幼苗

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解题思路:根据函数为偶函数,结合题意确定函数在(0,+∞)上为减函数,再利用单调性将不等式等价转化为具体不等式,解之即得原不等式的解集.

∵函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,
∴函数在(0,+∞)上为减函数
∵函数f(x)是偶函数,f(2)=0,可得f(-2)=0
∴不等式
f(x)
x>0等价于

x>0
f(x)>0或

x<0
f(x)<0
当x>0时,f(x)>0即f(x)>f(2),结合单调性可得0<x<2;
当x<0时,f(x)<0即f(x)<f(-2),结合单调性可得x<-2
∴解不等式
f(x)
x>0,得x<-2或0<x<2,解集是(-∞,-2)∪(0,2)
故选:B

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

考点点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查解不等式与函数的单调性等知识,属于中档题.将题中的抽象不等式化不等式为具体不等式是解题的关键.

1年前

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