已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=f(x)•f(y)+1f

解题思路：再依据条件求得 f（2a）=0，f（3a）=-1，故排除A．求出函数的定义域，根据条件计算f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义判定函数为奇函数，故排除B．
由条件求出f（x-a）=-

1

f(x+a)

，可得 f（x）=

−1

f(x+2a)

=f（x+4a），故函数是周期函数，可得D正确．求得先证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，再根据单调性的定义进行证明，
可得f（x）在[2a，3a]上单调递减，故排除C，综合可得结论．

由f（x-y）=
f(x)•f(y)+1
f(y)−f(x)成立，且f（a）=1，可求得 f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]=
f(a)•f(−a)+1
f(−a)−f(a)=
1−f2(a)
−2f(a)=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]=
f(2a)•f(−a)+1
f(−a)−f(2a)=[1
−f(a)=-1，故A不正确．
∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，f（a）=1，又f（-x）=f[（a-x）-a]=
f(a−x)• f(a)+1
f(a)−f(a−x)
=
f(a−x)+1
1−f(a−x)=
1+
f(a)•f(x)+1
f(x)−f(a)
1−
f(a)•f(x)+1
f(x)−f(a)=
2f(x)/−2]=-f（x），∴f（x）为奇函数，故B不正确．
由于 f（x-a）=
f(x)•f(a)+1
f(a)−f(x)=
1+f(x)
1−f(x)=
1+f(x+a−a)
1−f(x+a−a)=
1+
f(x+a)•f(a)+1
f(a)−f(x+a)
1−
f(x+a)•f(x)
f(a)−f(x+a)=-
1
f(x+a)，
所以 f（x）=
−1
f(x+2a)=f（x+4a），故函数f（x）为周期性等于4a的周期函数，故D正确．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，由题意可得必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0．
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）=
f(2a)•f(x)+1
f(2a)−f(2x)=
1
−f(x)＞0，∴f（x）＜0．
设2a＜x₁＜x₂＜3a，则0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=
f(x1)•f(x2)+1
f(x2−x1)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[2a，3a]上单调递减，故C不正确．
故选D．

点评：
本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 本题主要考查了函数奇偶性和周期性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，属于中档题．