已知函数f（x）=[1/2x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e为常数，e=2.71828），且这两函数

解题思路：（I）求导函数，利用两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同，建立方程组，即可求实数b的值；
（Ⅱ）由1≤x≤e时，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围．

（Ⅰ）f'（x）=x+2e，g′(x)＝
3e2
x]，
设f(x)＝
1
2x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的公共点为（x₀，y₀），
则有


1
2x02+2ex0＝3e2lnx0+b
x0+2e＝
3e2
x0
x0＞0.…（3分）
解得b＝−
e2
2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)＝3e2lnx−
e2
2，
所以2[f(x)−2ex]+
a
6e2[2g(x)+e2]＝x2+alnx．
∴由1≤x≤e时，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立．
∵1≤x≤e，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0．
∴a≥
x2−2x
x−lnx在1≤x≤e时恒成立．…（8分）
设h(x)＝
x2−2x
x−lnx（1≤x≤e），则h′(x)＝
(2x−2)(x−lnx)−(x2−2x)(1−
1
x)
(x−lnx)2＝
(x−1)(x+2−2lnx)
(x−lnx)2．
显然x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0．
所以h'（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h(x)＝
x2−2x
x−lnx在[1，e]上为增函数．…（11分）
故h(x)max＝h(e)＝
e2−2e
e−1．
所以实数a的取值范围是[
e2−2e
e−1，+∞)．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．