（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（12，52）和B（4，m），点
（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（12，52）和B（4，m），点P是线段A
（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（[1/2]，[5/2]）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
（2014?黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（[1/2]，[5/2]）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
赞 亲是ii 春芽
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（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（[1/2]，[5/2]）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴
5
2＝(
1
2)2a+
1
2b+6
6＝16a+4b+6，解得
a＝2
b＝?8，
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），
=-2n2+9n-4，
=-2（n-[9/4]）2+[49/8]，
∵PC＞0，
∴当n=[9/4]时，线段PC最大且为[49/8]．
（3）∵直线AB为y=x+2，
∴当∠PAC=90°时，设直线AC的解析式为y=-x+b，
把A（[1/2]，[5/2]）代入得：[5/2]=-[1/2]+b，解得：b=3，
∴直线AC解析式：y=-x+3，
点C在抛物线上，设C（m，2m2-8m+6），代入y=-x+3得：2m2-8m+6=-m+3，
整理得：2m2-7m+3=0，
解得；m=3或m=[1/2]（舍去）
∴P（3，5），
当∠PCA=90°时，把y=[5/2]代入y=2x2-8x+6，得x=[7/2]，
x=[7/2]代入y=x+2得：y=[11/2]，
∴P（[7/2]，[11/2]），
所以P的坐标为（3，5）或（[7/2]，[11/2]），
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（[1/2]，[5/2]）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴
5
2＝(
1
2)2a+
1
2b+6
6＝16a+4b+6，解得
a＝2
b＝?8，
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），
=-2n2+9n-4，
=-2（n-[9/4]）2+[49/8]，
∵PC＞0，
∴当n=[9/4]时，线段PC最大且为[49/8]．
（3）∵直线AB为y=x+2，
∴当∠PAC=90°时，设直线AC的解析式为y=-x+b，
把A（[1/2]，[5/2]）代入得：[5/2]=-[1/2]+b，解得：b=3，
∴直线AC解析式：y=-x+3，
点C在抛物线上，设C（m，2m2-8m+6），代入y=-x+3得：2m2-8m+6=-m+3，
整理得：2m2-7m+3=0，
解得；m=3或m=[1/2]（舍去）
∴P（3，5），
当∠PCA=90°时，把y=[5/2]代入y=2x2-8x+6，得x=[7/2]，
x=[7/2]代入y=x+2得：y=[11/2]，
∴P（[7/2]，[11/2]），
所以P的坐标为（3，5）或（[7/2]，[11/2]），
1年前
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