已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2=1（a>b>0)的左焦点,点P是椭圆C上的动点.（1）若椭圆C的离心率为根号3/

已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2=1（a>b>0)的左焦点,点P是椭圆C上的动点.（1）若椭圆C的离心率为根号3/3,
且向量PF1点成向量PF2的最大值为8,求椭圆C的方程

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由题意可知 e=c/a =1/ √3
设P(x,y) F1(-c,0),F2(c,0)
且向量PF1点成向量PF2 = (x-c)(x+c)+y^2=x^2+y^2-c^2.1#
而 y^2 = (1-x^2/a^2)*b^2
1# 等价于 (1-b^2/a^2)x^2+b^2-c^2 = e^2x^2+b^2-c^2
显然,当x=±a 时,取最大值
此时 1# = a^2-c^2 = 8;于是 c=2,a=2√3 ;b=2√2
所以方程为 x^2/12+y^2/8=1

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