已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．

（1）f'（x）=3x²-2bx+6．---------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点．
∴f'（2）=0，即2是方程3x²-2bx+6=0的一个根，解得b＝
9
2．----------------------（3分）
所以f'（x）=3x²-9x+6
令f'（x）＞0，则3x²-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）
（2）∵当1＜x＜2时f'（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a²＞2恒成立，只需f（2）＞a²+2，即a+2＞a²+2，------------------（12分）
解得 0＜a＜1．------------------（13分）
即的取值范围是0＜a＜1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，极值以及最值问题．对不等式恒成立问题，解决的方式是转化为最值很成立，利用导数求出函数的最值．