已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x−y−22＝0相切．

（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d＝
|−2
2|

12+12＝2…（2分）
所以圆C₁的方程为x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）
由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以

x＝(m+n)x0＝x0
y＝my0…（5分）
即：

x0＝x
y0＝
1
my，将A(x，
1
my)代入x²+y²=4，得
x2
4+
y2
4m2＝1…（7分）
（Ⅲ）m＝

3
2时，曲线C方程为
x2
4+
y2
3＝1，假设存在直线l与直线l₁：x−y−2
2＝0垂直，
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆
x2
4+
y2
3＝1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立得：

y＝−x+b
3x2+4y2＝12，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2＝
8b
7，x1x2＝
4b2−12
7…（10分）
∴

OD•

OB＝x1x2+y1y2＝x1x2+(b−x1)(b−x2)=2x1x2−b(x1+x2)+b2
=
8b2−24
7−
8b2
7+b2=
7b2−24
7…（12分）
因为∠BOD为钝角，所以
7b2−24
7＜0且b≠0，
解得b2＜
24
7且b≠0，满足b²＜7
∴−
2
42
7＜b＜
2
42
7且b≠0，
所以存在直线l满足题意…（14分）

点评：
本题考点： 向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．