（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=[1/2]x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为
：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=[1/2]x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为
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解题思路：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．
（1）把点A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，
得
16a−4b+3＝0
a−b+3＝0，解得
a＝
3
4
b＝
15
4，
∴抛物线的解析式为：y=[3/4]x2+[15/4]x+3．
（2）①如答图2-1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S▱ODAE=6，OA=4，
∴S△AOD=[1/2]OA•DH=3，
∴DH=[3/2]．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴[3/4]x2+[15/4]x+3=-[3/2]，
解得：x1=-2，x2=-3．
∴点D坐标为（-2，-[3/2]）或（-3，-[3/2]）．
当点D为（-2，-[3/2]）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-[3/2]）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2-2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
1年前
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