如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．

解题思路：（1）根据矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根据同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）①取FC的中点H，连接MH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MH∥DC，MH=[1/2]EC，然后表示出EC，即可得解；
②根据相似三角形对应边成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整理即可得到y与x的关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；

（2）①如图，取FC的中点H，连接MH，
∵M为EF的中点，
∴MH∥DC，MH=[1/2]EC，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离，
∵DE=x，DC=AB=4，
∴EC=4-x，
∴MH=[1/2]EC=2-[1/2]x，
即点M到FC的距离为MH=2-[1/2]x；
②∵△ADE∽△ABF，
∴[DE/AD]=[BF/AB]，
∴[x/2]=[BF/4]，
∴BF=2x，FC=2+2x，FH=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵MH=2-[1/2]x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-[1/2]x）²+（x-1）²=[5/4]x²-4x+5，
∴y=[5/4]x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=[5/4]x²-4x+5=[5/4]（x²-[16/5]x+[64/25]）+5-[16/5]=[5/4]（x-[8/5]）²+[9/5]，
当x=[8/5]时，BM²有最小值[9/5]，
此时，BM的最小值是
3
5
5．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题是相似形综合题，主要利用了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，二次函数的最值问题，难点在于（2）作辅助线构造出三角形的中位线．