已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得最小值m-1（m≠0）．设函数f

解题思路：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．

（1）依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1，（a≠0），
则g′（x）=2a（x+1=2ax+2a，
又g′（x）的图象与直线y=2x平行，
∴2a=2，a=1，
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=
g(x)
x=x+[m/x]+2，
设P（x₀，y₀），
则|PQ|²=
x20+（y₀+2）²=
x20+（x₀+[m
x0）²=2
x20+
m2

x20+2m≥2
2m2+2m=2
2|m|+2m，
当且仅当2
x20=
m2

x20时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值
6，
当m＞0时，
(2
2+2)m=
6，解得m=3（
2-1）；
当m＜0时，
−(2
2+2)m=
6，解得m=-3（
2-1）；
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+
m/x]+2=0（x≠0），
得（1-k）x²+2x+m=0，（*）
当k=1时，方程（*）有一解x=-[m/2]，函数y=f（x）-kx有一零点x=-[m/2]；
当k≠1时，方程（*）有二解，∴△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-[1/m]，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=
−2±
4−4m(1−k)
2(1−k)，即x=
1±
1−m(1−k)
k−1；
若m＜0，k＜1-[1/m]，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=
−2±
4−4m(1−k)
2(1−k)，即x=
1±
1−m(1−k)
k−1；
当k≠1时，方程（*）有一解，
∴△4-4m（1-k）=0，k=1-[1/m]，
函数y=f（x）-kx有一零点x=[1/k−1]=-m；
综上，当k=1时，函数y=f（x）-kx有一零点x=-[m/2]；
当k＞1-[1/m]（m＞0），或k＜1-[1/m]（m＜0）时，函数y=f（x）-kx有两个零点x=
1±
1−m(1−k)
k−1；
当k=1-[1/m]时，函数y=f（x）-kx有一零点x=[1/k−1]=-m．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．