求和 1+2x+3x^2+…+nx^(n-1)

考虑f(x)=x+x^2+……+x^n=[x(1-x^n)]/(1-x)=(x-x^(n+1))/(1-x)
对上式求导得Sn=(1-(n+1)x^n+nx^n+1)/[(1-x)^2]={(1-x^n)/[(1-x)^2]}-nx^n/(1-x)化简过程略
或者给它乘公比x再错位相减得xSn= x+2x^2+3x^3+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n
Sn=1+2x+3x^2+……+nx^(n-1)
相减得(1-x)Sn=1+x+x^2+……+x^(n-1)-nx^n=[(1-x^n)/(1-x)]-nx^n
所以Sn={(1-x^n)/[(1-x)^2]}-nx^n/(1-x)

当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= [n(1+n)]/2
当x≠1时，Sn=1+2x+3x^2+…+nx^n-1 ①
xSn= x+2x^2+…+(n-1) x^(n-1)+nx^n ②
①-②: (1-x) Sn=1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)+nx^n